À l’aune de Monte-Carlo

Paris, le samedi 6 juin 2020 – Les statistiques ont-elles guidé le monde ces dernières semaines ? Et si oui, comment être sûr qu’il était plus sage de se vouer à elles qu’au hasard (une autre forme de statistiques) ? Pour cela il faudra sans doute d’autres modélisations et d’autres chiffres. Mais nos éternelles réflexions sur la chance, les convergences et les corrélations continueront de nous hanter, que nous soyons épidémiologiques, médecins ou simples jouets du hasard et des virus. On s’en convaincra avec cette digression proposée (avant la crise mais fort d’à-propos) par le docteur Alain Cohen sur le loto, les études épidémiologiques et autres bizarreries statistiques.

Par le Dr Alain Cohen

« Plus on vieillit, plus on se persuade que Sa sacrée Majesté le Hasard fait les trois quarts de la besogne de ce misérable univers » (Frédéric II de Prusse, dans une lettre à Voltaire).

Hasard ? Coïncidence ou convergence ? Alors que le gouvernement français privatisait récemment la Française des Jeux (assimilable, à l’instar des studios d’Hollywood, à une « entreprise du rêve » avec le loto attirant régulièrement depuis des décennies des millions de joueurs), le magazine Pour la Science consacrait une parution[1] au concept de phénomène aléatoire et à son implication dans nos vies. En particulier, pour le loto, version moderne des loteries...

Pourquoi joue-t-on au loto ?

Dès 1696, dans ses Réflexions sur ce qu’on appelle le bonheur et le malheur en matière de loteries, Jean Leclerc s’interroge : « Les loteries sont, pour ainsi dire, des énigmes qui signifient tout autre chose que ce qui paroît d’abord. »  Pourquoi cet engouement pour le loto ? Florence Spitzenstetter[1] avance que « plusieurs biais psychologiques expliquent que nous surestimons nos chances de gagner. » Trois phénomènes, principalement : le désir (nous surestimons les chances d’un événement très agréable), l’illusion de contrôle (à l’instar du choix des cases dans les jeux à gratter, nous croyons avoir une certaine influence sur l’issue du tirage, en choisissant une combinaison au loto) et la rareté (plus un événement est rare, plus nous surestimons la probabilité qu’il puisse survenir). Bien entendu, le caractère extra-ordinaire du gain (EuroMillions ou super-cagnottes) augmente mécaniquement son attrait : à l’exception des millionnaires grincheux d’une ancienne publicité télévisée pour le loto (« Ça ne nous intéresse pas, nous avons déjà une fortune personnelle ! »), qui ne rêverait pas d’imiter un jour les heureux gagnants d’une autre publicité télévisée pour le loto se permettant de dire « au revoir ! » à leurs collègues et à leur patron ? Nous connaissons le caractère infime (voire « epsilonesque » : environ 1 chance sur 19 000 000 millions) d’être un gagnant au premier rang. Pourtant, nous jouons au loto, seuls ou dans un contexte de socialisation (entre collègues d’une entreprise). En dix ans, le montant des mises (tous jeux de hasard confondus) est passé en France de 9,3 milliards d’euros (2007) à 15,1 milliards d’euros (2017). Dans le sillage de Cavour (« La loterie est l’impôt des imbéciles »), on dit que la plus grande partie de cet argent (presque toujours perdue pour les joueurs) constitue une forme d’« impôt volontaire. » Et d’ailleurs, si l’état (ex-actionnaire majoritaire de la Française des Jeux) va perdre une bonne partie des dividendes qu’il recevait de cette entreprise, il continuera de percevoir des recettes fiscales (environ 2400 millions d’euros en 2019)[2]. Il est certain que l’attirance pour les jeux d’argent a des rapports (conscients ou non) avec la tentation prométhéenne de forcer ou défier la destinée en s’efforçant de rebattre les cartes, quand on n’a pas la bonne fortune d’être né dans une famille très riche : car contrairement aux propos optimistes mais trop souvent illusoires des hommes politiques, le véritable « ascenseur social » n’est plus le travail, ni la formation professionnelle (certes très utiles pour survivre et ne pas finir SDF), mais bien le loto.

Loteries, argent et religion

« Soyez réalistes, demandez l’impossible » enjoignait un slogan de Mai 1968 : il semble que le loto s’inscrive dans cette ligne libertaire car, franchement, son résultat ne peut-il pas changer plus radicalement (mais tellement moins souvent !) la vie que le résultat du baccalauréat ? En réalité, la toise sociale par excellence n’est ni le Quotient Intellectuel, ni le diplôme, ni l’expérience professionnelle, c’est le montant du compte en banque ! Certes, l’argent ne fait pas toujours le bonheur ;  mais, précise un humoriste, « il permet de choisir son genre de malheur préféré. » Le loto a cette vertu remarquable d’incarner la vraie valeur de l’égalité, prônée dans la devise de la république mais si rarement constatée en pratique : tous (handicapés, pauvres, immigrés, exclus...) peuvent gagner. Seule condition, jouer : « 100 % des gagnants ont tenté leur chance. » Le succès du film d’Olivier Baroux, Les Tuche, le confirme : plouc et chômeur, le héros Jeff Tuche parvient pourtant à quitter son village de Bouzolles pour résider à Monaco (ville la plus chère du monde !) grâce au loto, véritable deus ex machina. Entre le hasard et la religion, il semble d’ailleurs exister une certaine collusion : bien que l’étymologie du mot hasard vienne du terme arabe « al-zahr » (signifiant à l’origine « dés » et ayant pris le sens métaphorique de « chance » depuis le philosophe Averroès), Jean-Claude Carrière[1] rappelle qu’« aujourd’hui encore, on ne peut pas parler du hasard » dans certains pays musulmans, le hasard « fait partie des notions que la religion interdit. » Si des sociétés marchandes (Venise, Gênes, Anvers) ont dès le XVIème siècle « évacué la dimension pécheresse » de la loterie, la France du XVIIème siècle hésite encore, car « le hasard ne doit ni menacer ni pervertir. » Nécessité (économique) faisant loi, l’Ancien Régime « s’arroge le monopole des loteries » pour profiter « des revenus que le hasard procure », au détriment des considérations morales et religieuses. Mais rejetant le concept de phénomène aléatoire, certaines religions estiment que des phénomènes que la science attribue aux lois physiques ou au hasard relèvent en fait d’une intercession divine. Par exemple, dans le Mahâbhârata hindou[3], le Dieu Krishna guide la flèche d’un personnage (Arjuna). De même, dans l’Odyssée (Chant VI, vers 85 à 126), pour signaler la présence d’Ulysse à Nausicaa jouant à la balle, la déesse Athéna oriente la trajectoire de cette balle « dans un remous profond » ; ce bruit tire Ulysse de son sommeil et lui permet d’aborder Nausicaa... Et dans le judaïsme, le nom de la fête de Pourim (qui signifie « les tirages au sort ») rappelle comment « Dieu s’est déguisé derrière le hasard pour réaliser les miracles » (de cette fête). Dans cette même veine, Théophile Gautier affirme que « Le hasard, c’est peut-être le pseudonyme de Dieu quand il ne veut pas signer » et Albert Einstein confirme : « Le hasard, c’est Dieu qui se promène incognito. » Quant à la tentation du miracle, Jean-Paul Delahaye précise (in Pour la Science n°418, Août 2012) : « Le désir de miracle est insatiable, y compris chez les plus rationnels des scientifiques. Seul un effort intellectuel déterminé et constant permet d’éviter qu’il nous conduise à l’erreur. » 

Le recours au hasard

Analogues aux manœuvres stériles dans des sables mouvants, les efforts humains pour se dépêtrer des rets du destin aggravent au contraire sa menace, et l’identifient à un attracteur inexorable, surpassant toute influence. Un adage latin rappelle l’inutilité de toute lutte contre la destinée (écrite d’avance, modifiable ou aléatoire ?) : « Ducunt fata volentem, nolentem trahunt » (le sort conduit qui l’accepte, mais traîne l’insoumis). Deux attitudes possibles : le fatalisme comme Stéphane Mallarmé (« Un coup de dés, jamais, n’abolira le hasard ») et l’optimisme comme Romain Rolland (« Le hasard sait toujours trouver ceux qui savent s’en servir. » Alain note toutefois qu’un succès aléatoire n’est pas gage de réussite ultérieure : « Il faut craindre de réussir sans comprendre, tout autant que de gagner aux cartes. » Suggérant dès l’Antiquité qu’on pourrait s’efforcer de recourir utilement au hasard, Héraclite exhortait : « Si vous ne l’attendez pas, vous ne trouverez pas l’inattendu ! » Dans la démarche scientifique, cette utilisation délibérée du hasard comme « catalyseur » culmine avec la méthode stochastique (en référence au grec « stokhastès » = devin), déjà pressentie au XVIIIème siècle par Buffon qui s’en servait pour estimer des valeurs approchées du nombre π en jetant des aiguilles sur un plancher ! Appelée aussi « méthode de Monte-Carlo » par allusion aux jeux de hasard du célèbre casino monégasque[4], elle tire paradoxalement de l’information à partir d’un manque d’informations, par tirages au sort. Pour résoudre un calcul numérique, la méthode stochastique substitue une variable aléatoire à un paramètre déterministe inconnu (telle la valeur d’une intégrale définie) puis effectue l’analyse statistique d’un grand nombre de ces variables aléatoires cernant la valeur déterministe recherchée. Développée par le physicien Nicholas Metropolis et le mathématicien Stanislaw Ulam, la méthode de Monte-Carlo contribue à démythifier le rôle du hasard et des statistiques, un rôle majeur dans la démarche scientifique, comme l’atteste par exemple la pratique de la « randomisation » (ou recours systématique au tirage au sort) dans les essais thérapeutiques. Conseillant ainsi de « visiter Monte-Carlo », de grandes figures du XXème siècle ont utilisé la méthode stochastique, comme le Russe A. N. Kolmogorov ou l’Américain Norbert Wiener, créateur de la cybernétique.

Le sophisme du procureur

Si l’utilisation du hasard dans la méthode de Monte-Carlo est louable, le recours imprudent à des raisonnements statistiques erronés peut se révéler catastrophique, comme dans le sophisme du procureur[5], dénoncé par William C. Thompson et Edward Schumann en 1987 comme source possible d’erreur judiciaire. Un cas tristement célèbre est celui de Sally Clark, en Angleterre. En 1996, elle perd un premier enfant, quelques semaines après sa naissance. Mort subite du nourrisson ? Bis repetita, deux ans plus tard : mort de son second fils. La justice s’interroge sérieusement. Syndrome de Silverman ? Syndrome de Münchhausen par procuration ? Au procès, le pédiatre-expert affirme que la probabilité de deux morts subites surevenant spontanément dans une même fratrie est seulement « d’environ 1 chance sur 73 millions. » Sally Clark est alors condamnée, reste trois ans en prison, mais elle est en fait innocente, victime d’une erreur judiciaire : à cause du sophisme du procureur, le tribunal « ignore les probabilités a priori des autres possibilités, toutes très improbables : si la mort successive des deux nourrissons de causes naturelles est extrêmement improbable, leur double assassinat par leur propre mère l’est également ; personne n’a songé à estimer cette probabilité durant le procès pour comparer la vraisemblance de ces deux événements hautement improbables. »[5] Tiffany Morisseau et Nicolas Gauvrit[1] commentent ce cas tragique : « À l’heure où les choix médicaux sont de plus en plus posés en termes de risques et où les arguments statistiques influencent le judiciaire, le cas de Sally Clark révèle à quel point les erreurs peuvent être dramatiques. Elle a finalement été acquittée trois ans plus tard, grâce à l’intervention de la Royal Statistical Society qui a dénoncé le raisonnement fallacieux ayant conduit à son accusation. Mais le mal était fait. Elle ne se remit jamais et mourut aloolisée, en 2007. » Cette histoire exemplaire rappelle à quel point « notre intuition nous trompe en matière de raisonnements sur des statistiques. »

Prudence, statistiques !

La même prudence s’impose dans l’interprétation des études épidémiologiques. En 1994, une étude anglaise semble ainsi réhabiliter la consommation (modérée) d’alcool : portant sur plus de 10 000 médecins britanniques suivis durant 13 ans, elle montre une moindre mortalité chez les « buveurs raisonnables » (environ deux verres de vin par jour) que chez les praticiens rigoureusement abstinents ! Une étude épidémiologique de l’American Cancer Society (concernant 276 802 personnes suivies pendant 12 ans) confirme ce rôle inattendu de la boisson : in vino sanitas ? Apparemment paradoxales (sauf en admettant que l’alcool à doses filées soit un facteur protecteur), ces conclusions peuvent traduire un biais caché : la tempérance de certains pourrait résulter d’une recommandation médicale, elle-même liée à quelque pathologie expliquant la sur-mortalité du groupe « sobre. » Cette statistique troublante en rappelle une autre, comparant les effets respectifs du café et du décaféiné sur la santé : la corrélation avec la morbidité cardio-vasculaire semble plus forte pour le « déca » que pour le (vrai) café lui-même ! Réalisée auprès de 45000 hommes et publiée en 1990 en Grande-Bretagne, cette étude sur l’impact du café pour les affections cardio-vasculaires montre que la consommation ordinaire de café n’est pas un facteur de risque, contrairement au tabagisme par exemple. Mais contre toute attente, le café décaféiné paraît constituer un tel facteur de risque ! Le paradoxe serait apparent, et le « déca » non réellement concerné : ce résultat surprenant illustrerait le problème de la représentativité d’un panel et de l’interprétation des résultats en épidémiologie. Le « déca » semble impliqué pour un motif sans rapport avec son éventuelle nocivité, mais relatif à un biais occulte : il passerait abusivement pour une cause, alors qu’il serait en fait une conséquence révélatrice d’une situation préalable. Le recours habituel au décaféiné serait une contre-mesure liée à une plus grande sensibilité aux affections cardio-vasculaires incitant les personnes déjà les plus exposées a priori à ces maladies à priser davantage le décaféiné, par crainte des effets présumés de la caféine dans leur contexte particulier. L’échantillon impliqué étant biaisé d’emblée, la conclusion serait contestable, et le déca absous : prudence dans l’interprétation des statistiques ! Les détracteurs nient d’ailleurs leur prétention à décrire une réalité universelle à partir de calculs toujours limités à des échantillons particuliers, si grands soient-ils. Disraeli  y voit une tromperie : « Il existe trois sortes de mensonges : les simples mensonges, les affreux mensonges, et les statistiques ». Pour Georges Vedel, cette discipline (« forme mathématique du mensonge ») voilerait l’essentiel : « Les statistiques sont comme les maillots de bain : elles révèlent ce qui est suggestif, mais cachent ce qui est vital. » Pour E. et J. de Goncourt, « La statistique est la première des sciences inexactes. » Rex Stout pousse encore la critique : il existerait « deux sortes de statistiques : celles qu’on consulte, et celles qu’on invente. » Peu avant l’effondrement de l’ex-RDA, des manifestants arboraient ainsi ces pancartes assassines à l’encontre du fameux « bilan globalement positif » du régime communiste : « Ne fais confiance qu’aux statistiques que tu as toi-même truquées ! » Proche du fameux paralogisme du joueur[6] (ou sophisme de Monte-Carlo), c’est-à-dire l’idée erronée que la probabilité d’un événement aléatoire augmente ou diminue en fonction des occurrences précédentes, alors que sa probabilité reste fixe (car « une loterie n’a pas de mémoire »), citons ce raisonnement des célèbres Shadoks de Jacques Rouxel : estimant n’avoir qu’une chance sur un million de réussir le lancement d’une fusée, ils se dépêchent allègrement de... rater les 999999 premiers essais pour s’assurer de la victoire finale à leur millionième tentative qui couronnerait tant d’essais infructueux ! Comme dit le publicitaire J.M Goudard, « Dans la vie, pour réussir, il faut d’abord se planter ! » Cette « philosophie Shadok » (« Plus ça rate, plus ça marchera plus tard ! ») semble inhérente au joueur du loto : doit-il se réjouir de perdre régulièrement pour mieux gagner un jour ? Or si curieux que cela puisse paraître, la recherche scientifique progresse aussi, parfois, selon cette logique Shadok : des voies explorées sont oubliées, des portes refermées, à peine entrouvertes ; le progrès opère moins par cheminement linéaire que par sauts quantifiés. Exemple : pour l’élaboration d’un nouveau médicament, il est fréquent de tester en vain des milliers de molécules avant d’en retenir une seule, présumée intéressante.

Aléas incroyables mais vrais 

Au terme de ces réflexions sur le hasard, évoquons cette approche du mathématicien Suédois Per Martin-Löf pour le définir : « Une suite infinie de 0 et de 1 est aléatoire[7] lorsqu’elle passe tous les tests statistiques raisonnables. Cette idée a été acceptée quand on a montré qu’elle est équivalente à deux idées plus simples : d’une part, qu’une suite est aléatoire si elle est incompressible (impossible à représenter par un programme plus court qu’elle-même) ; d’autre part, qu’une suite est aléatoire si elle est imprévisible, aucun système de pari mécanique ne gagnant contre elle. » (Jean-Paul Delahaye, Pour la Science n°413, Mars 2012). En d’autres termes, la seule martingale sérieuse, au loto, c’est qu’il n’y a aucune martingale ! Même le recours à des tables de nombres dits « au hasard » semble contestable : à l’université Stanford, en Californie, Donald Knuth a contesté la nature aléatoire de ces tables de nombres « randomisés » et formulé une préconisation paradoxale : « Pour obtenir des nombres au hasard, il vaut mieux ne pas choisir une méthode au hasard ! » Quoi qu’il en soit, le hasard joue des tours insolites ! Quelques exemples récents, tirés de l’histoire internationale du loto. Tirage gagnant du loto bulgare, le 6 Septembre 2009 : 4, 15, 23, 24, 35 & 42. Fait ô combien surprenant : exactement le même tirage se reproduit quatre jours plus tard ! « Tempête médiatique », mais l’enquête n’a montré aucune fraude : le très improbable s’est seulement réalisé ! Et ce phénomène a priori « impossible » s’est reproduit pour le loto israëlien, l’année suivante : le 21 Septembre et le 16 Octobre 2010, une même combinaison gagnante est sortie à deux reprises : 13, 14, 26, 32, 33 & 36. Là encore, le loto n’était pas truqué... Mais le plus ahurissant réside sans doute dans ces deux histoires incroyables mais vraies. D’une part la mésaventure « frustrante et terrifiante »[8] narrée par le statisticien David Hand et survenue en 1980 à une femme nommée Maureen Wilcox : jouant simultanément aux loteries des états mitoyens de Rhode Island et du Massachusetts, elle eut les bons numéros pour les deux tirages ! Malheureusement, elle avait choisi les bons numéros du tirage du Massachusetts sur son ticket du Rhode Island et, vice-versa, les bons numéros du tirage du Rhode Island sur son ticket du Massachusetts, de sorte qu’elle ne gagna rien du tout... alors qu’elle aurait pu remporter les deux gros lots à la fois, en cas d’inversion providentielle des tirages !... Histoire inverse : un premier hasard extraordinaire permet à un joueur de gagner 163 millions d’euros à EuroMillions où la probabilité[9] de « jackpot » (5 numéros + 2 étoiles pour un gain moyen de 17 à 190 millions d’euros) est seulement de 1 chance sur 139 838 160. Mais il ne peut pas empocher ce pactole, car il a la malchance de perdre son ticket ! Or un second hasard (peut-être encore plus inouï) lui permet de récupérer la plus grande partie de cette fortune : en effet, une autre personne trouve ce ticket perdu sur la voie publique, le ramasse, et se présente à la Française des Jeux qui diffère le versement du gain jusqu’à la signature d’un « protocole transactionnel » entre les deux parties, puisque le règlement du jeu EuroMillions stipule (article 11.3) que « le paiement du gain ne peut être remis qu’au joueur, exclusivement contre remise du reçu intact. » Concrètement, c’est la justice qui tranche (arrêt de la Cour d’appel de Paris du 27 juin 2019)[10] : après huit ans de procédures, la personne ayant trouvé et ramassé le ticket perdu dans la rue reçoit 12 millions d’euros. Moralité : il est parfois très payant de s’adonner au « syndrome de Diogène », en s’intéressant aux papiers traînant dans la rue...

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Vos réactions (4)

  • Choisir le pifomètre ou la méthodes scientifique ?

    Le 06 juin 2020

    On peut observer que les «erreurs» statistiques sont en fait des erreurs de méthodologie. Dans le cas de mort subite on utilise une simple fréquence pour comparer deux éléments sans calculer les ratios de concordance, dans d'autres l'introduction de biais et de facteurs confondants non traités et fréquents dans les études observationnelles.

    La statistique (au sens large) est un outil, bien ou mal utilisé, notamment par des gens ignorants et peu honnêtes pour suggestionner des personnes influençables. Les mathématiques et l'étude statistique font partie de la méthode et de la démarche scientifique et ont, depuis le XVIII ème. s., démontré leur supériorité au pifomètre, à la connaissance révélée ou au culte de la personnalité, voire au lysenkisme.

    Il convient donc de soumettre si besoin les résultats à l'analyse de gens compétents et de respecter la démarche scientifique (sélection du "matériel", méthode, analyse des résultats, revue par les pairs, reproductibilité etc). Ne jetons pas le bébé avec l'eau du bain dans le brouhaha médiatique et le néo-obscurantisme.

    https://www.jim.fr/e-docs/enigme_de_la_bouteille_et_du_bouchon_une_question_de_psychologie_183184/document_actu_med.phtml

    Dr Jean-Jacques Le Moine

  • Savoir d'où vient le déca

    Le 08 juin 2020

    Votre analyse est intéressante, mais elle oublie qu'on obtient le déca par différents procédés : l'un par utilisation de solvants, l'autre par utilisation "d'eau". Il n'est pas exclu que les solvants utilisés pour faire du déca ait une toxicité propre.

    Dr Marie-Ange Grondin

  • Attention à cette erreur commune...

    Le 08 juin 2020

    ...qui fait confondre probabilités et statistiques. Il s'agit de sujets certes connexes, mais bien différents à de nombreux égards. Une lecture passionnante est "Quand le monde s'est fait nombre" d'Olivier Rey.
    La médecine est un art difficile, qui procède de raisonnements probabilistes et se fie à des données statistiques. On ne s'étonnera pas qu'elle erre souvent.

    Dr Pierre Rimbaud

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